2.1
Teoría elemental de la probabilidad
Según
(Murray R. Spiegel, 1991)
“cualquier experimento
aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especifico ocurrirá o
no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que
un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Pero si estamos
seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% ó 1, pero
si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es
cero.” (pág. 5)
De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)
“el termino
probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en
cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la
teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las
probabilidades relacionada con varios resultados.” (pág. 52)
Levin Richard I., 2010, señala que:
“la probabilidad es la
posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones
(1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y
uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una
probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre.” (pág. 129)
EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD
Según
(Murray R. Spiegel, 1991)
“si la probabilidad es de ¼, diríamos
que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no
ocurra. Equivale a decir que la probabilidad contra su ocurrencia es de 75% al
25% o de 3 a 1.” (pág. 5)
De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)
“hay una probabilidad 50-50 de que el titular busque la
reelección.” (pág. 5)
2.2 probabilidad de eventos:
Espacio
muestral
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“un conjunto s que consiste en
todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los
resultados se denomina punto muestral. (pág. 4)
De acuerdo a (walpole, Ronald
E., 1999)
“el
conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se
llama espacio muestral y se
representa con el símbolo s.” (pág. 11)
Jay L. Devore, 2005, señala
que:
“El
espacio muestral de un experimento,
denotado por S, es el conjunto de los resultados posibles de ese experimento.”
(pág. 53)
Evento
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“para
cualquier experimento dado podemos estar interesados en la ocurrencia de cierto
eventos más en el resultado de un
elemento especifico en el espacio muestral.” (pág. 13)
De acuerdo a (Jay L. Devore,
2005)
“un
evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados contenido en el
espacio muestral S. se dice que un evento simple si consiste en exactamente un
resultado, y compuesto si consta de más de uno.” (pág. 54)
Seymour Lipschutz (1992) señala que:
“Un evento A
es un conjunto de resultado o, en otras palabras, un subconjunto del espacio
muestral S. En particular, el conjunto {a} que consta de una sola muestra € S
es un evento y se llama evento elemental.” (pág. 276)
Unión
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“la
unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A U B, es el
evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.”
(pág. 15)
De acuerdo a (José
Alfredo, 2008)
“La unión del conjunto A y el conjunto B es
el conjunto que contiene a todos
los
elementos del conjunto A y del conjunto B:
A u B
= {x | x e A o x e B}.” (pág. 80)
Jay L. Devore, 2005, señala que:
“la
unión de dos eventos A y B denotada por A U B y que se lee “A unión B”, es el
evento que consiste en los resultados que están ya sea en A o en B o en ambos
eventos (así que la unión incluye resultados para los que ocurren tanto A como
B, así como resultados para los que ocurre exactamente uno). Es decir, los
resultados en por lo menos uno de los eventos.” (pág. 55)
Intersección
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“la
intersección de dos eventos A y B, denotada mediante el símbolo A∩B, es el
evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B.” (pág. 15)
De acuerdo a (José
Alfredo, 2008)
“La intersección del conjunto A y el
conjunto B es el conjunto que contiene
a
todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B:
A n B
= {x | x e A; x e B}.” (pág. 82)
Jay L. Devore, 2005, señala que:
“la
intersección de dos eventos A y B, que se denota como A∩B y se lee “A
intersección B”, es el evento que consiste en los resultados que están tanto en
A como en B.” (pág. 55)
Diagrama
de venn
Según (José Alfredo, 2008)
“Los diagramas de Venn son representaciones
gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo
general cada conjunto se representa por medio de un circulo, ovalo o
rectángulo, y la forma en que se entrelazan las figuras que representan a los
conjuntos muestra la relación que existe entre los elementos de los respectivos
conjuntos.” (pág. 79)
De acuerdo a ((Murray R.
Spiegel, 1991)
“un
universo u puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro
de un rectángulo. Para En tal caso los
subconjuntos de u se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos.
Tales diagramas denominados diagramas de ven, sirven para darnos una intuición
geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.” (pág. 2)
Jay L. Devore, 2005, señala que:
“en
un diagrama de venn representamos el espacio muestral como un rectángulo.”
(pág. 16)
EJEMPLO
DEL USO O APLICACIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“si lanzamos un dado,
un espacio muestral de todos los resultados posibles se da por {1, 2, 3, 4, 5,
6} en tonto que otro es {par, impar} sin embargo, es lógico que el último no
sería adecuado para determinar, por ejemplo, si un resultado es divisible a 3.”
(pág. 4)
De acuerpo a (walpole, Ronald
E., 1999)
“un experimento
consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara.
Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez. Para
listar los elementos del espacio muestral que proporcione la mayor información,
construimos el diagrama de árbol. Ahora bien, las diversas trayectorias a lo
largo de la rama del árbol dan los distintos puntos de la muestra. Al comenzar
con la rama superior izquierda y movernos a la derecha a lo largo de la primera
trayectoria, obtenemos el punto muestral HH, que indica la posibilidad de que
ocurran caras en dos lanzamientos sucesivos de la moneda. Asimismo, el punto
muestral T3 indica la posibilidad de que la moneda muestre una cruz seguida por
un 3 en el lanzamiento del dado. Al seguir a lo largo de todas las
trayectorias, vemos que el espacio muestral es:
S= {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.
Jay L. Devore, 2005, señala
que:
“si
se examina tres fusibles en secuencia y se observa el resultado de cada examen,
entonces un resultado para todo el experimento es cualquier secuencia de letras
N y D de tamaño3, por lo tanto.
S= {NNN. NND. NDN, NDD, DNN, DND,
DDN, DDD}
Si
se hubiera lanzado al aire una tachuela tres veces, el espacio muestral se
obtendrá sustituyendo N por U en S con un cambio de notación que produce el
mismo espacio muestral para el experimento en el que se observa el género de
tres niños recién nacidos.” (pág. 53)
EJEMPLO
DEL USO O APLICACIÓN DE EVENTOS
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“sea R el evento de que una
carta roja se seleccione de una baraja ordinaria de 52 cartas, y sea S toda la
baraja. Entonces R´ es el evento de que la carta seleccionada de la baraja no
sea una roja sino una negra.” (pág. 14)
De acuerdo a (Jay L. Devore,
2005)
“El espacio muestral para el
experimento de examen de baterías contiene un número infinito de resultados y,
por lo tanto, hay un número infinito de evento simples. Los eventos compuestos
son:
A = {S, FS, FFS} = el evento
en el que a lo sumo se examina tres baterías.
E = {FS, FFFS, FFFFFS…) 0 el
evento en el que se examinan un número par de baterías.” (pág. 55)
EJEMPLO
DEL USO O APLICACIÓN DE LA UNIÓN
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}; entonces
AUB = {a, b, c, d, e}.” (pág. 16)
De acuerdo a (José
Alfredo, 2008)
“Sean
los conjuntos:
A = {1,2, 3, 6, 7, 8}
B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}
Aplicando la definición de unión de conjuntos se tiene que:
AuB= {l, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12}.” (pág. 81)
Jay L Devore, 2005. Señala que:
“para
el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola
gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1,
3, 5}. Entonces
AUB=
{0, 1,2, 3, 4, 5, 6}=S. A U C= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
EJEMPLO
DEL USO O APLICACIÓN DE LA INTERSECCIÓN
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“sea P el evento de que una persona seleccionada al azar
mientras cena en un restaurante de moda sea un contribuyente, y sea Q el evento
de que la persona tengas más de 65 años de edad. Entonces el evento P∩Q es el
conjunto de todos los contribuyentes en el restaurante que tiene más de 65 años de edad.” (pág. 15)
De acuerdo a (José
Alfredo, 2008)
“Sean
los conjuntos:
A = {1,2, 3, 6, 7, 8}
B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}
Aplicando la definición de intersección de conjuntos se
tiene que:
A n B = {2, 6, 8}.” (pág. 82)
Jay L Devore, 2005. Señala que:
““para
el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola
gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1,
3, 5}. Entonces
A∩B = {3, 4}, A∩C= {1, 3}, A´= {5, 6}, {
(AUC)= {6}.” (pág. 55)
2.3 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.
AXIOMAS
Según (Douglas
C. Montgomery y George C. Runger, 2010)
“Los
axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden
interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el
conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas. Los
axiomas no determinan las probabilidades. Sin embargo, los axiomas facilitan el
cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de
las probabilidades de otro.”(pág. 66)
Seymour Lipschutz (1991)
señala que:
“Sea
S un espacio muestral, sea Є la clave de eventos y se P una función de valores
reales definida en Є. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es
llamada la probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:
[P1]
Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
[P2]
P(S) = 1.
[P3]
Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(A
U B) = P(A) + P(B)
[P4]
Si A1, A2, … es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces
P(A1
U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + … “ (Pág. 40)
De acuerdo a (Murray R.
Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)
“Suponga
que tiene un espacio muestral S. Si S es discreto, todos los subconjuntos
corresponden a eventos y recíprocamente, pero si S no es discreto, solo los
subconjuntos especiales (llamados mediles) corresponden a eventos. A cada
evento A de una clase C de eventos se le asocia un número real P(A). Entonces P
se llama función de probabilidad, y P(A) es la probabilidad del evento A. si se
satisfacen los axiomas siguientes:
Axioma
1: Para cada evento A de la clase C.
P(A) ≥
0
Axioma
2: Para el evento cierto o seguro S de la clase C.
P(S) =
1
Axioma
3: Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…., de la clase
C,
P(A1 U
A2 U …) = P(A1) + P(A2) + …
En particular, dados dos eventos mutuamente
excluyentes A1, A2,
P(A1 U
A2) = P(A1) + P(A2)” (Pág. 5)
TEOREMAS
De
acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)
“De
acuerdo con los axiomas anteriores, pueden demostrarse varios teoremas acerca
de la probabilidad que son importantes en el trabajo subsiguiente.
Teorema
1-1: Si A1 C A2, entonces P(A1) ≤ P(A2) y (A2 – A1) = P(A2) – P(A1).
Teorema
1-2: Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1, es decir una probabilidad está entre 0 y
1.
Teorema
1-3: P(ф) = 0 es decir el evento imposible tiene probabilidad cero.
Teorema
1-4: Si A’ es el complemento de A, entonces P(A´) = 1 – P(A)
Teorema
1-5: Si A = A1 U A2 U … U An donde A1, A2, … An son eventos mutuamente
excluyentes, entonces P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An), en particular, si A =
S, es el espacio muestral, entonces P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.” (pág. 5 y
6)
2.4
probabilidad condicional
Según (Mario F.Triolo, 2009)
“La probabilidad
condicional de un suceso es una probabilidad obtenida con
La información adicional de algún otro
evento que ya ocurrió. P (B|A) denota la
Probabilidad condicional de que el
suceso B ocurra, dado que el suceso A ya
Ocurrió, y puede calcularse dividiendo
la probabilidad de que ambos sucesos
A y B ocurran
entre la probabilidad del suceso A:
PsB k Ad 5
PsA y Bd
PsAd.” (pág. 169)
De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu
Srinivasan, 2010)
“P(B|A) = P(A∩B)/P(A) o bien P(A∩B) = P(A) P(B|A) indica que la
probabilidad de que ocurran tanto en A como B es igual a la posibilidad de que
ocurra A, por la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A. A P(B|A)
se la llama probabilidad condicional de B dado A, es decir, la probabilidad de
que ocurra B dado que ha ocurrido A.” (pág. 7)
Seymour Lipschutz (1992) señala que:
“sea E un evento arbitrario en un espacio
muestral S para el cual P(E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A
una vez que haya ocurrido E o, en otras palabras, la probabilidad condicional
de A dado E, escrito P(A|E), se define como sigue:
P(A|E) = P(A ∩ E) / P(E)” (pág. 279)
2.5 ley multiplicativa
Según (Jay L. Devore, 2005)
“la definición de la
probabilidad condicional da el siguiente resultado, obtenido multiplicando
ambos miembros de la ecuación.”(Pág.69)
p (A∩B)
= P (A|B)*P (B)
De acuerdo a (walpole, Ronald E., 1999)
“permite
calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.
Si
en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces
P(A ∩ B) = P(A)
P (B|A), siempre que P(A) > 0.” (pág. 54)
Mario F. Triolo, 2009. Declara que:
“se utiliza Para
calcular P(A y B), la probabilidad de que el suceso A ocurra
en un primer ensayo Y que el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Si el
resultado del primer suceso A afecta de alguna forma la probabilidad del
segundo suceso B, es importante Ajustar la probabilidad de B para
que refleje la ocurrencia del suceso A. La regla Para el cálculo de P(A
y B) se denomina regla de la multiplicación porque implica Multiplicar
la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B (donde
la Probabilidad del suceso B se ajusta por el resultado del suceso A).
P(A y B) _
P (el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre
en un
Segundo ensayo).” (pág. 159)
2.6
eventos independientes: regla de bayes
Según
(Jay L. Devore, 2005)
“el cálculo de una probabilidad posterior P (Aj|B) a partir de probabilidades previas
dadas P (Aj) y probabilidades
condicionales
ocupa una posición central en la probabilidad
elemental. La regla general de dichos cálculos, los que en realidad son una
aplicación simple de la regla de la
multiplicación, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivió en el
siglo XVII.” (Pág.72)
De
acuerdo (Seymour Lipschutz, 1968)
“supongamos que
los eventos A1, A2,…, An forman una partición de un espacio
muestral
; esto es, que los eventos
son mutuamente exclusivos y su unión es
. Ahora sea.
Otro evento.”(Pág.56)
Levin Richard
I., 2010, señala que:
“El teorema de Bayes
ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras
anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la
probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace
innecesario reunir grandes
cantidades de datos en un periodo grande con el fin de tomar mejores
decisiones, basadas en probabilidades.” (pág. 158)
Ejemplo:
Tres máquinas A, B y C producen respetivamente
50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de
desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si selecciona al
azar un artículo. Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.
2.7
variable aleatoria
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“una
variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada
elemento del espacio muestral.” (pág.
51)
De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)
“una variable aleatoria es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. en el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo recorrido es el conjunto de numero reales.” (pág. 98)
“una variable aleatoria es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. en el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo recorrido es el conjunto de numero reales.” (pág. 98)
Murray R. Spiegel, 1991, señala que:
“supóngase que a cada
punto de un espacio muestral asignamos un número. Así definimos una función en
el espacio muestral. Comúnmente se denota por una letra mayúscula como X ó Y.
En general una variable aleatoria tiene algún significado físico, geométrico u
otro.” (pág. 38)
EJEMPLO
DEL USO O APLICACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA
Según (walpole, Ronald E.,
1999)
“se
sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una que contiene cuatro
bolas rojas y tres negras. Los posibles resultados y los valores y de la
variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas, son
De
acuerdo a (Jay L Devore, 2005)
“cuando un estudiante intenta conectarse a un
sistema de computadoras de tiempo compartido, uno de dos puertos está ocupado
(F), en cuyo caso el estudiante no logra tener acceso, o bien hay por lo menos
un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante logra conectarse al sistema con
S= {S, F}, defina una variable aleatoria x mediante
X(S)=1
X (F)=0
La variable aleatoria X indica si (1) el
estudiante se puede conectar o no ({}).” (pág. 98)
Murray
R. Spiegel, 1991, señala que:
“supóngase que se lanza una moneda dos veces de
tal forma que el espacio muestral es S= {CC, CS, SC, SS}. Representase por X el
número de caras que puede resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un
número para X.
Debe
observarse que también podría definirse otras muchas variables aleatorias en
este espacio muestral, por ejemplo el cuadro del número de caras, el número de
caras menos en número de sellos.” (pág. 38)
2.8 Variables aleatorias conjuntas
Anderson
Sweeney Williams (2008) señala que:
“A una
variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o
colección de intervalos, Los resultados experimentales basados en escalas de
medición tales como tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos
por variables aleatorias continuas. La variable aleatoria que interesa es x =
tiempo en minutos entre dos llamadas consecutivas. Esta variable aleatoria
puede tomar cualquier valor en el intervalo x ≥ 0.” (Pág. 189)
Jay ley Devore (2009) menciona
que:
“La
probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria continua X esté
en un conjunto unidimensional A (tal como un intervalo) se obtiene integrando
la función de densidad de probabilidad f(x) a lo largo del
conjunto A. Asimismo, la probabilidad de que el par
(X, Y)
de variables aleatorias continuas quede en un conjunto A en dos
dimensiones (tal como
un
rectángulo) se obtiene integrando una función llamada función de densidad
conjunta. (Pág. 186)
Seymour Lipschutz, (1991)
señala que:
“supóngase
que X es una variable aleatoria cuyo conjunto imagen X(S) es un conjunto
continuo de números tales como intervalo. El conjunto |a ≤ X ≤ b | es un suceso
de S y, por consiguiente, la probabilidad P(a ≤ X ≤ b) está bien definida.”
(Pág. 84)
2.9
modelos analíticos de fenómenos aleatorios discreto
Según (Walpole, Myers, Myers,
2012)
“se
puede contar su conjunto de resultados posibles. Sin embargo, una variable aleatoria cuyo conjunto de valores
posibles es un intervalo completo de números no es discreta. Cuando una
variable aleatoria puede tomar valores en una escala continúa.” (pág. 83)
De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991)
“Variable
aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes
valores, aleatoria, por que el valor tomado es totalmente al azar y discreta
porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.” (pág. 87)
FUENTE BIBLIOGRÁFICA
(Walpone,
Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros
sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.
(Murray
R. Spiegel, 1991) probabilidad y estadística. Primera edición,
México: MC GRAW-HILL/INTEROAMERICANA.
(Levin,
Richard I, 2010) estadística para administración y economía.
Séptima edición, México: person educación.
(José
Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera
edición. México: editorial Alfaomega.
(Jay
L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.
(Mario
F.Triolo, 2009) Estadística. Décima edición, México: Pearson
Addison Wesley.
(Seymour
Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, México:
Editorial MC GRAW HILL.
(Walpole,
Myers, Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia.
Novena edición, México: person educación.
(Seymour
Lipschutz, 1992). Matemáticas para computación. Primera edición.
México. Mc Graw Hill.
(Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería,
primera edición. México. Mc Graw Hill.
(Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu
Srinivasan, 2010.) Probabilidad y estadística. Tercera edición.
México. Mc Graw Hill.
