1.1 principio aditivo
Según (Carlos, 1970)
“principio de adición:
supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer de n1 maneras.
Supongamos que un segundo procedimiento designado con 2, se puede hacer de n2
maneras. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2 es n1+n2” (pág.
32)
De
acuerdo a (José Alfredo, 2008)
“principio
de adición: establece que si un evento se puede llevar a
cabo en n o m Lugares distintos, además de no ser posible que se lleve a
cabo el mismo Evento en dos lugares distintos al mismo tiempo, entonces el
evento se Puede realizar de m + n maneras diferentes.”(pág. 45)
Ralph
p., 1989, señala que:
“principio
aditivo: si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda
se puede efectuar de n maneras, y no se puede realizar las dos tareas
simultáneamente,, entonces realiza cualquiera de ellas se puede lograr de m+n
maneras” (pág. 1)
Ejemplos del uso o aplicación del principio aditivo.
Según
(Carlos, 1970)
“supongamos
que planeamos un viaje y debemos decidir entre transformarnos por autobús o por
tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3+2=5
rutas diferentes disponibles para el viaje” (pág. 33)
De
acuerdo a (José Alfredo, 2008)
“El
día domingo de 12:00 a 14:00, una persona puede ver uno de los 4 partidos de
futbol que pasan en diferentes canales de televisión, o bien ver alguna de las
6 películas que transmiten a esa misma hora en otros seis canales diferentes o
ver alguno de los 2 conciertos que coinciden también en ese horario. Cuantos
eventos diferentes puede ver en la televisión esa persona de 12:00 a 14:00?
Eventos diferentes = 4 + 6 + 2 = 12.” (pág.45)
Ralph
p., 1989, señala que:
“la
biblioteca de un colegio tiene 40 libros de texto sobre sociología y 50 sobre
antropología, un estudiante de ese colegio puede elegir entre 40+50=90 libros
de texto para ampliar sus conocimientos sobre alguno de los dos temas”. (pág.
1)
Lista de referencia bibliográfica
(Carlos, 1970) probabilidad y aplicaciones
estadística, editorial Addison-Wesley berdomericana.
(José Alfredo, 2008) matemáticas para la computación,
primera edición, mexico.2008. Editorial alfaomega.
(Ralph p. 1989) matemáticas discretas y
combinatoria, editorial Addison-Wesley
iberoamericana impreso en E.U.A, esta
edición en español es la única autorizada.
1.2 principio multiplicativo
1.2 principio multiplicativo
Según
(William, 1994)
“principio
multiplicativo: si los conjuntos A1, A2,…, AK
tienen, respectivamente n1*n2*… * nk maneras de seleccionar primero un elemento
de A1 seleccionar después un elemento de A1,…, y finalmente seleccionar un
elemento de nk.” (pág. 50)
De
acuerdo a (Ralph p., 1989)
“principio
de multiplicación: si un procedimiento
se puede separar en las etapas primera y segunda, y si ha m posibles
resultados para la primera etapa y n para la segunda entonces el procedimiento
total se puede realizar, en el orden designado de mn maneras.”(pág. 2)
Carlos,
1970 señala que:
“principio
de multiplicación: supongamos que un procedimiento, designado como 1, puede
hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento designado como 2, se puede
hacer de n2 maneras. También supongamos que cada una de las maneras de efectuar
1 puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces el
procedimiento que consta de 1 seguida por 2 se puede hacer de n1*n2 maneras.”
(pág. 31)
Ejemplo del uso o aplicación del principio
multiplicativo
Según (William,
1994)
“un proceso de
manufactura se efectúa con muy poca
“inspección en el mismo proceso”. Cuando se terminan los artículos se
transportan a un área de inspección, y se inspeccionan cuatro características,
cada una por un inspector diferente. El primer inspector evalúa una
característica de acuerdo con uno de cuatro valores. El segundo, utiliza tres
valores, y el tercero y cuatro inspectores emplean dos valores cada uno. Cada
inspector marca el valor en la etiqueta de identificación del artículo. Habría
un total de 4*3*2*2=48 maneras en las cuales podrían marcarse el artículo.”
(pag.51)
De acuerdo a (Ralph
p., 1989)
“supóngase que se
arroga una moneda perfecta y se tira un dado perfecto. Ya que la moneda y el
dado son perfectos, los dos resultados para n1, n1= {H, T}, son igualmente
posibles Y los seis resultados para n2, n2= {1, 2, 3, 4, 5,6}, son igualmente
posibles. Ya que n1= 2 y n2 = 6, existen doce resultados para el experimento total
y los resultados son igualmente posibles.” (pág. 44)
Carlos, 1970
señala que:
“un artículo
manufacturado debe pasar por tres
controles. En cada uno de ellos se inspecciona una característica particular
del artículo y se le marca de conformidad. En el primer control hay tres
mediciones posibles, mientras que en cada uno
de los dos últimos controles hay cuatro mediciones posibles. Por lo
tanto, hay 3*4*4= 48 maneras de marcar
el artículo.”(pág. 32)
Lista de referencia bibliográfica
(William, 1994)
probabilidad y estadística. Tercera edición. México, editorial CECSA.
(Carlos,
1970) probabilidad y aplicaciones estadística, editorial Addison-Wesley Iberoamericana.
(Ralph
p. 1989) matemáticas discretas y combinatoria,
editorial Addison-Wesley iberoamericana
impreso en E.U.A, esta edición en español es la única autorizada.
1.3
Notación Factorial.
Según (Ralph p. Grimaldi, 1989)
“Se usa la notación n! léase “n factorial”, para
denotar el producto de los enteros positivos de 1 a n, incluye:
n! = 1*2*3 * *
* * *(n – 2) (n – 1)n
Equivalente, se define n! por
1! = 1
y n! = n*(n-1)!
También es conveniente definir 0!=1.” (pág. 257)
De acuerdo a (Seymour
lipschutz, 1991)
“ El producto de los
enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas se denota por símbolo especial
n! (que se lee “n factorial”):
n! = 1*2*3 * * * * *(n – 2) (n – 1)n
Conviene también definir 0!=1 (pág. 16)
José A. Jiménez Murillo, 2008
señala que:
“El factorial de n,
denotado como n!, se define como:
0! = 1 1! = 1
n! = n(n – 1) (n – 2) *** (2)1 para n˃1
Siento n un número
entero no negativo.” (pág. 46 y 47)
Ejemplo del uso o aplicación de la
notación factorial.
Según (Ralph p. Grimaldi, 1989)
“a) 2! = 1*2 =2 3! = 1*2*3* = 6 4! = 1*2*3*4 = 24
5! = 5*4! = 5*24 = 120 6! = 6*5! = 6*120 = 720." (pág. 257)
De acuerdo a (Seymour Lipschutz, 1991)
"b) 18!/6!= 8*76!/6! = 56
12*11*10 =
12*11*10*9!/9! = 12!/9!
12*11*10/1*2*3 = 12*11*10* 1/3!= 12!/3*9!.”
(pág. 16)
José A. Jiménez Murillo, 2008., señala que:
“6!=
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.” (pág. 47)
Lista de referencias bibliográficas
(Ralph p. Grimaldi, 1989) matemáticas discretas y combinatoria esta edición en
español es la única autorizada, impreso en E.U.A: editorial Addison-Wesley
iberoamericana.
(Seymour Lipschutz, 1991) probabilidad, primera edición, impreso en México,
MCGRAW-HILL/INTERERAMERICANA.
(José
A. Jiménez murillo, 2008)
matemáticas para la computación, primera edición, México.2008. Editorial alfa
omega.
1.4 permutaciones
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“Permutación: supóngase que se dan n objetos
diferentes y deseamos ordenar r de estos objetos en una línea. Puesto que hay n
maneras de escoger el primer objeto, y luego de hacer esto n – 1 maneras de
escoger el segundo objeto,. . ., y finalmente n – r + 1 formas de escoger el
r-esimo objeto, se deduce por el principio fundamental de cuenta que el número
de ordenaciones.” (pág. 10)
De acuerdo a (Ramón Espinosa
Armenta, 2010)
“Permutación: sea A un conjunto con n elementos. Una
permutación de A es un arreglo ordenando de todos los elementos de A.
equivalentemente, una permutación elementos de A es una función biyectiva de A
en sí mismo.”(pág. 306)
José A. Jiménez Murillo, 2008, señala que:
“Las permutaciones son el número de formas
distintas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus
lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden. También
se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que
ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo.”(pág. 46)
Ejemplo del uso o aplicación de
permutaciones
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“El número de ordenaciones o permutaciones diferentes
que consisten de 3 letras cada una y que pueden formarse de las 7 letras A, B,
C, D, E, F, G, es:
(pág. 10)
De acuerdo a (Ramón Espinosa
Armenta, 2010)
“¿Cuántos enteros positivos de cinco cifras se pueden
formar de manera que todos los dígitos sean distintos?
Solución:
El primer digito no puede ser cero, de modo que se tienen 9 opciones para
elegir la primera cifra. Por cada elección del primer digito se tienen p (9,4)
maneras de formar las 4 cifras restantes, de modo que se tienen en total 9p (9,4)=27,216
números.”(pág. 307)
José A. Jiménez murillo., 2008
señala que:
“A diferencia del ejemplo 2.7, supóngase ahora que la
academia no está formada por tres maestros sino por 8, y que de ese conjunto se
desea integrar el comité que ocupará los puestos de presidente, secretario y
vocal, suponiendo que primero se selecciona a quien ocupará el puesto de
presidente, después el de secretario y al final el de vocal.
¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar?
La respuesta es
P = 8 x 7 x 6 = 336
Como se ve, el presidente se puede seleccionar de 8
formas distintas, el secretario de 7 y el vocal de 6.
Si n es el número de elementos del conjunto (n = 8 en
este caso) y r es el número de elementos que forman el comité (en este caso r =
3). La expresión anterior se puede representar en función de n y r de la
siguiente manera:
P=n!/(n-r)!
Sustituyendo n=8 y r=3, se tiene que:
P=8!/(8-3)!=8!/5! = 8*7*6*5!/5! = 8*7*6=336." (pág. 47)
1.5 combinaciones
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“En muchos problemas estamos interesados solamente en
seleccionar o escoger objetos sin interesar el orden. Dichas selecciones se
llama combinaciones. Por ejemplo ABC y BCA son las mismas combinaciones.”(pág.
10)
De acuerdo a (Ramón Espinosa
Armenta, 2010)
“Sea A un conjunto finito. Una k-combinación de A es
un subconjunto de A con k elementos. La expresión c(n, k) denota el número de
k-combinaciones de un conjunto con n elementos.” (pág. 308)
José A. Jiménez murillo., 2008,
señala que:
“Combinación es todo arreglo de elementos que se
seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno
de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado
es el primero, el de en medio o el que está al final del arreglo.” (pág. 52)
Ejemplo del uso o aplicación de
combinaciones
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“El número de maneras en las cuales 3 cartas pueden
escogerse o seleccionarse de un total de 8 cartas diferentes es:
Formula: (n, r) = n!/r!(n-r)!
8C3= (8,3)= 8*7*6/3!= 56.”
(pág. 11)
De acuerdo a (Ramón Espinosa
Armenta, 2010)
“En el dominio cada ficha tiene dos números del 0 al 6 (no
necesariamente distintos). ¿Cuántas fichas del dominio hay?
Solución:
Hay C (7, 2) fichas con números distintos, y 7 ficha
con números repetidos (las “mulas”), para un total de C (7,2) + 7 = 28 fichas.”
(pág. 309)
José A. Jiménez murillo., 2008,
señala que:
“supóngase
que la academia está integrada por 8 maestros, y que de ese conjunto se desea
seleccionar a 3 de ellos que integraran el comité que ocupara los puestos de
presidente, secretario y vocal. Suponiendo que no es importante quien ocupe
cualquiera de los puestos, .cuantos arreglos diferentes se pueden formar?
El número de arreglos es:
(8, 3) = 8!/3! (8-3)!= 8*7*6*5!/3!*5!= 56
Suponiendo que el
conjunto de maestros es A= {Ignacio, Miriam, Jorge, Raymundo, Esperanza,
Manuel, Rogelio, Ezequiel), las 56 combinaciones son todas las tripletas que se
pueden formar con ellos, en donde el orden en que aparece el nombre de un maestro
no es importante sino solamente que este contenido en ella. Esto implica que
por ejemplo las tripletas (Miriam, Ezequiel, Raymundo) y (Raymundo, Miriam,
Ezequiel) realmente son iguales." (pág. 53)
Lista de referencias bibliográficas
(Murray R. Spiegel, 1991) probabilidad y estadística, primera edición, México:
MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA.
(Ramón Espinosa Armenta, 2010) matemáticas discreta, primera edición, México: Alfa
omega Grupo Editorial.
(José A. Jiménez murillo, 2008) matemáticas para la computación, primera edición,
mexico.2008. Editorial alfa omega.
1.6 Diagrama de Árbol.
Según (Seymour Lipschutz, 1992)
“Un diagrama de árbol (con raíz) ayuda en el uso del
principio fundamental de conteo exhibiendo todos los resultados posibles de una
sucesión de eventos en donde cada evento puede ocurrir de un numero finito de
maneras.” (pág. 263)
De acuerdo a (Murray R. Spiegel,
2010)
“si una acción puede realizarse de n1 maneras
diferentes y después una segunda acción puede realizarse de n2 maneras distintas,.
. ., y por ultimo una k-ésima acción puede realizarse de n1 maneras diversas,
entonces estas k acciones pueden realizarse, en el orden señalado, de n1 * n2 *
* * n2 maneras diferentes.”(pág. 8)
William W. Hines, 1993, señala que:
“supóngase que los datos están representados por x1,
x2,. . ., xn, y cada número x1 consta de al menos dos dígitos. Para construir
un diagrama de árbol, dividimos cada número x1 en dos partes: un tronco,
consiste en uno o más de los primeros dígitos, y una hoja, consiste en los
dígitos restantes. Por ejemplo, si los datos están compuestos por información
de defectos porcentuales 0 y 100 en lotes de obleas de semiconductores,
entonces podríamos dividir el valor 76 en el tronco y en la hoja 6.” (pág. 21)
Ejemplo del uso o aplicación del diagrama
de árbol.
Según (Seymour Lipschutz, 1992)
“Marcos y Ernesto van a jugar en un torneo de tenis.
La primera en ganar dos encuentros seguidos o en ganar un total de tres
encuentros gana el torneo. Un diagrama de árbol que muestra cómo puede resultar
el torneo. El árbol está construido de izquierda a derecha. En cada punto (juego)
que no sea un punto final, se originan dos ramas, que corresponden a los dos
posibles resultados de ese juego, o sea que gane Marcos o que gane Ernesto. Hay
10 puntos finales, que corresponden a las 10 posibles maneras como puede
desarrollarse el torneo:
MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE,
EE
(pág. 263)
De acuerdo a (Murray R. Spiegel,
2010)
(pág. 8)
William
W. Hines, 1993, señala que:
(Pág. 51)
Lista
de referencias bibliográfica
(Seymour Lipschutz, 1992) matemáticas
para computación, primera edición, impreso en Colombia:
MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA.
(Murray R. Spiegel, 2010) Probabilidad y estadística, tercera edición, México:
MCGRAW-HILL.
(William W. Hines, 1993) Probabilidad y estadística para ingeniería y
administración, tercera edición, México: CECSA.
1.7 Teorema del Binomio.
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“Los números total de combinaciones de r objetos
seleccionados de n (también llamadas las combinaciones de n cosas tomadas de r en r) se les llama
frecuentemente los coeficientes binomiales puesto que provienen de la expansión
binomial.” (pág. 11)
De
acuerdo a (José
A. Jiménez murillo, 2008)
“Cada uno de los factores en que se
descompone un binomio elevado a una potencia n se les llama coeficientes
binomiales de Newton.” (pág. 57)
Ramón Espinosa Armenta, 2010, señala que:
“Sea n y k dos enteros
no negativos, tales que n≥k. el coeficiente binomial (n, k) está definido por:
(n, k) =n!/k!(n.k)!.” (Pág. 38)
Ejemplo
del uso o aplicación del teorema del binomio.
Según (Murray R. Spiegel, 1991)
“(x+y) ^n
= x^n + (n, 1) x^n-1y + (n, 2) x^n-2y^2 +. . . +(n, n)
(x+y)
^4 = x^4+ (4,1)
y + (4, 2) x^2 y^2
+ (4, 3) xy^3 + (4, 4) y^4
=
x^4 + 4x^3y + 6 x^2 y^2 + 4xy^3 +y^4." (pág. 11)
De acuerdo a (José A. Jiménez murillo, 2008)
“(x+y)^2= (n, n)
+ (n, n-1)xy + (n, n-2)
= (2, 2)x^2 + (2, 2-1)
= (2, 2)x^2 + (2, 1) xy + (2, 0) y= (1)x^2 +
(2) xy + (1)y^2= x^2 + 2xy +y^2.”
(pág. 57)
Ramón Espinosa Armenta, 2010, señala que:
“Para cualquier entero
positivo n se tiene que:
(a+b)^n =
a^n-k b^k
(a+b)^1 = a+b= (1, 0) a^1 b^0+ (1, 1)a^o b^1
Lista de referencias bibliográficas
(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística, primera edición, México:
MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA.
(José A. Jiménez murillo, 2008) Matemáticas para la computación, primera edición, México.2008. Editorial alfa omega.
(Ramón Espinosa Armenta, 2010) Matemáticas discreta, primera edición, México: Alfa
omega Grupo Editorial.
