ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

3.1 Conceptos básicos de estadística: Definición, Teoría de decisión, Población, Muestra aleatoria, Parámetros aleatorios.

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Estadística es un conjunto de métodos para planear estudios y experimentos, obtener datos y luego organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas en los datos.” (pág. 4)

De acuerdo a (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010)

“La estadística descriptiva está formada por procedimientos empleados para resumir y describir las características importantes de un conjunto de mediciones” (pág. 4).

De acuerdo a (Anderson, David R. Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams, 2008)

“La mayor parte de la información estadística en periódicos, revistas, informes de empresas y otras publicaciones consta de datos que se resumen y presentan en una forma fácil de leer y de entender. A estos resúmenes de datos, que pueden ser tabulares, gráficos o numéricos se les conoce como estadística descriptiva” (pág. 13).

POBLACIÒN

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Población es el conjunto completo de todos los elementos (puntuaciones,

Personas, medidas, etcétera) que se va estudiar. El conjunto es completo porque incluye a todos los sujetos que se estudiarán.” (pág. 4)

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones. Debemos definir esa población de modo que quede claro cuándo cierto elemento pertenece o no a la población.” (pág. 9)

Ejemplo;

“Desearíamos extraer conclusiones respecto a los colores de 200 bolas (la población) en una urna seleccionando una muestra de 20 bolas de la urna, donde cada bola seleccionada se regresa luego de observar su color.” (Pág. 155)

De acuerdo a (Allen L. Webster, 2000)

“Población es la recolección completa de todas las observaciones de interés para el investigador.”(Pág. 8)

Ejemplo;

“Si los ingresos de los 121 millones de asalariados de los Estados Unidos son de interes para un economista que asesore al congreso en la formulación del plan nacional tributario, entonces los 121 millones de ingresos constituyen una población.” (Pág. 8)

MUESTRA  ALEATORIA

Según (Mario F. Triola, 2009)

“En una muestra aleatoria los miembros de la población se seleccionan de forma que cada miembro individual tenga la misma posibilidad de ser elegido.” (pág. 2)

Según (MURRAY R, SPIEGEL, 1991).

 “Lógicamente, la confiabilidad de la conclusión extraídas concemientes a una población depende de si la muestra se ha escogido apropiadamente de tal modo que represente la población lo suficientemente bien; uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es como escoger una muestra.” (Pág. 156)

De acuerdo a (JAY L. DEVORE.2008)

“La distribución de probabilidad de cualquier estadístico particular depende no solo de la distribución de la población (norma, uniforme, etc.) y el tamaño de muestra sino también del método de muestreo.” (pág. 154)

3.2 DESCRIPCIÓN DE DATOS:

DATOS AGRUPADOS

Según (DAVID R. ANDERSON, 2008)

“Datos agrupados En la mayor parte de los casos, las medidas de localización y variabilidad se calculan mediante los valores individuales de los datos. Sin embargo, otras veces sólo se tienen datos agrupados o datos en una distribución de frecuencias.” (Pág. 120)

De acuerdo a (Larry Stephens, 2009)

“Datos agrupados Datos que se dan en intervalos de clase, como cuando se resumen para una distribución de frecuencias. No se tienen los valores de los datos originales.” (Pág., 126)

(LEVIN, RICHAR I. 2004) Señala que:

“Una distribución de frecuencias consta de datos agrupados en clases. Cada valor de una observación cae dentro de alguna de las clases.” (Pág., 62)

FRECUENCIA DE CLASE

Según (Larry Stephens, 2009)

“Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o categoría y determinar la cantidad de datos que pertenecen a cada clase; esta cantidad se conoce como la frecuencia de clase” (Pág. 37)

De acuerdo a (DAVID R. ANDERSON, 2008)

“La distribución de frecuencia acumulada usa la cantidad, las amplitudes y los límites de las clases de la distribución de frecuencia. Sin embargo, en lugar de mostrar la frecuencia de cada clase, la distribución de frecuencia acumulada

Muestra la cantidad de datos que tienen un valor menor o igual al límite superior de cada clase.” (pág. 120)

FRECUENCIA RELATIVA

Según (Larry Stephens, 2009)

“La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje.” (Pág. 37)

De acuerdo a (DAVID R. ANDERSON, 2008)

La frecuencia relativa de una clase es igual a la parte o proporción de los elementos que pertenecen a cada clase. En un conjunto de datos, en el que

Hay n observaciones.  Pag; 29

(LEVIN, RICHAR I, 2004) Señala que:

“Distribución de frecuencias relativas Presentación de un conjunto de datos en el que se muestra la fracción o porcentaje del total del conjunto de datos que entra en cada clase mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva.” (Pág.  45)

PUNTO MEDIO

Según (WILLIAN MENDENHALL, 2010)

“Muchos conjuntos de datos cuantitativos están formados de números que no se pueden separar fácilmente en categoría o intervalo. Entonces se hace necesaria una forma diferente de graficar este tipo de datos.” (Pág. 20)

De acuerdo a (DAVID R. ANDERSON, 2008)

“El punto medio de clase es el valor que queda a la mitad entre el límite inferior y el límite superior de la clase. En el caso de las duraciones de las auditorías, los cinco puntos medios de clase son 12, 17, 22, 27 y 32.”  (Pág.  35)

(Larry Stephens, 2009) Señala que:

“Punto medio de clase Valor que se encuentra a la mitad entre el límite de clase inferior y el límite de clase superior.”

LIMITE

Según (DAVID R. ANDERSON, 2008)

Límites de clase Los límites de clase deben elegirse de manera que cada dato pertenezca a una y sólo una de las clases. El límite de clase inferior indica el menor valor de los datos a que pertenece esa clase. El límite de clase superior indica el mayor valor de los datos a que pertenece esa clase. Pag; 35

3.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Una medida de tendencia central es un valor que se encuentra en el centro o a la mitad de un conjunto de datos.” Pág. 77.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución. Las medidas de tendencia central se conocen también como medidas de posición.” (pág. 58)

MEDIA ARITMÉTICA

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La media aritmética, por lo general, es la medida numérica más importante que se utiliza para describir datos; comúnmente se le conoce como promedio.” Pág. 77.

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“La media aritmética es una medida de ubicación muy utilizada. Cuenta con algunas propiedades importantes:

1. Todo conjunto de datos de intervalo –o de nivel de razón– posee una media.

Recuerde del capítulo 1 que los datos del nivel de razón incluyen datos como edades, ingresos y pesos, en éstos la distancia entre los números es constante.

2. Todos los valores se encuentran incluidos en el cálculo de la media.

3. La media es única. Sólo existe una media en un conjunto de datos. Más adelante en el capítulo descubrirá un promedio que podría aparecer dos o más veces en un conjunto de datos.

4. La suma de las desviaciones de cada valor de la media es cero. Expresado simbólicamente,

Σ(X – x testada) = 0 “(pág. 59)

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La media geométrica suele utilizarse en negocios y economía para calcular las tasas de cambio promedio, las tasas de crecimiento promedio o tasas promedio. Dados n valores (todos positivos), la media geométrica es la n-ésima raíz de su  producto.” Pág. 91.

MEDIA GEOMETRICA

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Media geométrica Medida de tendencia central utilizada para medir la tasa promedio de cambio o de crecimiento de alguna cantidad, se calcula tomando la n-ésima raíz del producto de n valores que representan el cambio.” (pág. 118)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“La media geométrica resulta útil para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Posee amplias aplicaciones en la administración y la economía, ya que con frecuencia hay interés en determinar los cambios porcentuales de ventas, salarios o cifras económicas, como el producto interno bruto, los cuales se combinan o se basan unos en otros. La media geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz enésima de un producto de n variables.” (pág. 69)

Según (Mario F. Triola, 2009)

“los valores varían de acuerdo con su grado de importancia, por lo que podemos ponderarlos y calcular la media ponderada de los valores x, una media que se obtiene asignando distintos pesos (w) a los valores.” Pág. 84.

MEDIA PONDERADA

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“La media ponderada nos permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total.” (pág. 69)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“La media ponderada constituye un caso especial de la media aritmética y se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor.” (pág. 61)

MEDIANA

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La mediana de un conjunto de datos es la medida de tendencia central que implica el valor intermedio, cuando los valores de los datos originales se presentan en orden de magnitud creciente (o decreciente). La mediana suele denotarse con x testada (y se lee “x con tilde”).” Pág. 78.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“La mediana es un solo valor del conjunto de datos que mide la observación central del conjunto. Esta sola observación es el elemento que está más al centro del conjunto de números. La mitad de los elementos están por arriba de este punto y la otra mitad está por debajo.” (pág. 77)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“Mediana Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de mayor a menor.” (pág. 62)

MODA

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia.” Pág. 80.

Ejemplo;

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Calcule las modas de los siguientes conjuntos de datos:

a. 5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10

b. 27 27 27 55 55 55 88 88 99

c. 1 2 3 6 7 8 9 10

SOLUCIÓN

a. El número 1.10 es la moda porque es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

b. Los números 27 y 55 son modas, ya que ambos se presentan con la misma

frecuencia, que es la más alta. Este conjunto de datos es bimodal porque tiene dos modas.

c. No hay moda porque ningún valor se repite.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“La moda es el valor que más se repite en el conjunto de datos.” (pág. 84)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“moda Valor de la observación que aparece con mayor frecuencia.” (pág. 64)

MEDIDAS DE DISPERCIÒN

Según (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“medidas de dispersión se refiere a la separación de los datos en una distribución, es decir, al grado en que las observaciones se separan.” (pág.58)

VARIANZA

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La varianza de un conjunto de valores es una medida de variación igual al cuadrado de la desviación estándar.

Varianza muestral:          el cuadrado de la desviación estándar s.

Varianza poblacional:      el cuadrado de la desviación estándar poblacional s.” (pág. 97.)

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Cada población tiene una varianza, su símbolo es (sigma cuadrada). Para calcular la varianza de una población, la suma de los cuadrados de las distancias entre la media y cada elemento de la población se divide entre el número total de observaciones en población. Al elevar al cuadrado cada distancia, logramos que todos los números sean positivos y, al mismo tiempo, asignamos más peso a las desviaciones más grandes (desviación es la distancia entre la media y un valor).” (pág. 96)

DESVIACIÒN ESTANDAR

Según (Mario F. Triola, 2009)

“La desviación estándar de un conjunto de valores muéstrales, es la medida de variación de los valores con respecto a la media. Es un tipo de desviación promedio de los valores con respecto a la media.” Pág. 94.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Desviación estándar Raíz cuadrada positiva de la varianza; medida de dispersión con las mismas unidades que los datos originales, más que en las unidades al cuadrado en que se expresa la varianza.” (pág. 118)

DESVIACION MEDIA

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“Desviación media, Media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media aritmética.” (pág. 73)

RANGO

Según (Mario F. Triola, 2009)

“El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.

Rango _ (valor máximo) _ (valor mínimo).” Pág. 93.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“El rango es la diferencia entre el más alto y el más pequeño de los valores observados.” (pág. 92)

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008)

“La medida más simple de dispersión es el rango. Representa la diferencia entre los Valores máximo y mínimo de un conjunto de datos. En forma de ecuación:

 Rango = Valor máximo – valor mínimo.” (pág. 73)

3.5 Distribución de frecuencia

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Una distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias) lista valores de los datos (ya sea de manera individual o por grupos de intervalos), junto con sus frecuencias (o conteos) correspondientes.” Pág. 43.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Una distribución de frecuencias es una tabla en la que organizamos los datos en clases, es decir, en grupos de valores que describen una característica de los datos.” (pág. 14)

De acuerdo a (Allen L. Webster, 2000)

“Una distribución de frecuencias (o tabla de frecuencias) ordenará los datos si estos se dividen en clases y se registrará el número de observaciones en cada clase.” (Pág. 22)

3.7 TÉCNICAS DE MUESTREO

De acuerdo a (Allen L. Webster (2000)

“Son las estrategias aplicadas por los investigadores durante el proceso de muestreo estadístico.” (pág. 160)

3.8 Histograma

Según (Mario F. Triola, 2009)

“Un histograma es una gráfica de barras donde la escala horizontal representa clases de valores de datos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a los valores de frecuencia; en tanto que las barras se dibujan de manera adyacente (sin huecos entre sí).” Pág. 51.

De acuerdo a (Levin, Richard I. y Rubin, David. S. 2010)

“Un histograma consiste en una serie de rectángulos, cuyo ancho es proporcional al rango de los valores que se encuentran dentro de una clase, y cuya altura es proporcional al número de elementos que caen dentro de la clase. Si las clases empleadas en la distribución de frecuencias son del mismo ancho, entonces las barras verticales del histograma también tienen el mismo ancho. La altura de la barra correspondiente a cada clase representa el número de observaciones de la clase.” (pág. 30)

Según (Douglas A. Lind, William G. Marchal y Samuel A. Wathen, 2008)

“Histograma es una gráfica en la que las clases se señalan en el eje horizontal y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se representan por medio de las alturas de las barras, éstas se dibujan de manera adyacente.” (Pág. 35)

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS

(Mario F. Triola, 2009) Estadística, décima edición, México: PEARSON EDUCACION.

(Levin, Richard I. y Rubin, David S., 2010) Estadística para administración  y economía, séptima edición, México: Pearson educación.

(Douglas A. Lind, William G. Marchal, 2008) estadística aplicada a los negocios y la economía. Decimotercera edición, México: MC GRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES.

 (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver, 2010) introducción a la probabilidad y estadística. Décima tercera edición, Compañía de Cengage Learning: Cengage Learning Editores

(Anderson, David R. Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams, 2008)

 Estadística para administración y economía. 10 edición, México: Cengage Learning

(Allen L. Webster, 2000) Estadistica aplicada a los negocios y la economìa. Tercera ediciòn. Colombia: Mc Graw Hill.

(MURRAY R, SPIEGEL, 1991) Probabilidad y estadística. Primera edición, México: McGraw-Hill/INTERMERICANA.

(JAY L. DEVORE, 2008) Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias,  Séptima edición, México: Cengage Learning editores S.A de C.V.

(DAVID R. ANDERSON, 2008) ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA. 10 edicion: cergage learning editares.

(Larry Stephens, 2009) ESTADÍSTICA. Cuarta edición, México: McGraw-Hill/interamericana editores.

(LEVIN, RICHAR I,  2004) estadística para administración y economía. Séptima edición, México: person educación

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD

2.1 Teoría elemental de la probabilidad

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especifico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Pero si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% ó 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero.” (pág. 5)

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“el termino probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionada con varios resultados.” (pág. 52)                 

Levin Richard I., 2010, señala que:

“la probabilidad es la posibilidad de que algo pase. Las probabilidades se expresan como fracciones (1/6, 1/2, 8/9) o como decimales (0.167, 0.500, 0.889) que están entre cero y uno. Tener una probabilidad de cero significa que algo nunca va a suceder; una probabilidad de uno indica que algo va a suceder siempre.” (pág. 129)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA PROBABILIDAD

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“si la probabilidad es de ¼, diríamos que hay un 25% de oportunidad de que ocurra y un 75% de oportunidad de que no ocurra. Equivale a decir que la probabilidad contra su ocurrencia es de 75% al 25% o de 3 a 1.” (pág. 5)

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005)

“hay una probabilidad 50-50 de que el titular busque la reelección.” (pág. 5)

2.2 probabilidad de eventos:

Espacio muestral

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“un conjunto s que consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio se llama un espacio muestral y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. (pág. 4)

De acuerdo a (walpole, Ronald E., 1999)

“el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se llama espacio muestral y se representa con el símbolo s.” (pág. 11)

Jay L. Devore, 2005, señala que: 

“El espacio muestral de un experimento, denotado por S, es el conjunto de los resultados posibles de ese experimento.” (pág. 53)

Evento

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“para cualquier experimento dado podemos estar interesados en la ocurrencia de cierto eventos más en el resultado de un elemento especifico en el espacio muestral.” (pág. 13)

De acuerdo a (Jay L. Devore, 2005)

“un evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados contenido en el espacio muestral S. se dice que un evento simple si consiste en exactamente un resultado, y compuesto si consta de más de uno.” (pág. 54)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

“Un evento A es un conjunto de resultado o, en otras palabras, un subconjunto del espacio muestral S. En particular, el conjunto {a} que consta de una sola muestra € S es un evento y se llama evento elemental.” (pág. 276)

Unión

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“la unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos

los elementos del conjunto A y del conjunto B:

A u B = {x | x e A o x e B}.” (pág. 80)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“la unión de dos eventos A y B denotada por A U B y que se lee “A unión B”, es el evento que consiste en los resultados que están ya sea en A o en B o en ambos eventos (así que la unión incluye resultados para los que ocurren tanto A como B, así como resultados para los que ocurre exactamente uno). Es decir, los resultados en por lo menos uno de los eventos.” (pág. 55)

Intersección

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“la intersección de dos eventos A y B, denotada mediante el símbolo A∩B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene

a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B:

A n B = {x | x e A; x e B}.” (pág. 82)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“la intersección de dos eventos A y B, que se denota como A∩B y se lee “A intersección B”, es el evento que consiste en los resultados que están tanto en A como en B.” (pág. 55)

Diagrama de venn

Según (José Alfredo, 2008)

“Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, ovalo o rectángulo, y la forma en que se entrelazan las figuras que representan a los conjuntos muestra la relación que existe entre los elementos de los respectivos conjuntos.” (pág. 79)

De acuerdo a ((Murray R. Spiegel, 1991)

“un universo u puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo.  Para En tal caso los subconjuntos de u se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de ven, sirven para darnos una intuición geométrica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.” (pág. 2)

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“en un diagrama de venn representamos el espacio muestral como un rectángulo.” (pág. 16)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL

Según (Murray R. Spiegel, 1991)

“si lanzamos un dado, un espacio muestral de todos los resultados posibles se da por {1, 2, 3, 4, 5, 6} en tonto que otro es {par, impar} sin embargo, es lógico que el último no sería adecuado para determinar, por ejemplo, si un resultado es divisible a 3.” (pág. 4)

De acuerpo a (walpole, Ronald E., 1999)

“un experimento consiste en lanzar una moneda y después lanzarla una segunda vez si sale cara. Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez. Para listar los elementos del espacio muestral que proporcione la mayor información, construimos el diagrama de árbol. Ahora bien, las diversas trayectorias a lo largo de la rama del árbol dan los distintos puntos de la muestra. Al comenzar con la rama superior izquierda y movernos a la derecha a lo largo de la primera trayectoria, obtenemos el punto muestral HH, que indica la posibilidad de que ocurran caras en dos lanzamientos sucesivos de la moneda. Asimismo, el punto muestral T3 indica la posibilidad de que la moneda muestre una cruz seguida por un 3 en el lanzamiento del dado. Al seguir a lo largo de todas las trayectorias, vemos que el espacio muestral es:

S= {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.

Jay L. Devore, 2005, señala que:

“si se examina tres fusibles en secuencia y se observa el resultado de cada examen, entonces un resultado para todo el experimento es cualquier secuencia de letras N y D de tamaño3, por lo tanto.

S= {NNN. NND. NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}

Si se hubiera lanzado al aire una tachuela tres veces, el espacio muestral se obtendrá sustituyendo N por U en S con un cambio de notación que produce el mismo espacio muestral para el experimento en el que se observa el género de tres niños recién nacidos.” (pág. 53)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE EVENTOS

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea R el evento de que una carta roja se seleccione de una baraja ordinaria de 52 cartas, y sea S toda la baraja. Entonces R´ es el evento de que la carta seleccionada de la baraja no sea una roja sino una negra.” (pág. 14)

De acuerdo a (Jay L. Devore, 2005)

“El espacio muestral para el experimento de examen de baterías contiene un número infinito de resultados y, por lo tanto, hay un número infinito de evento simples. Los eventos compuestos son:

A = {S, FS, FFS} = el evento en el que a lo sumo se examina tres baterías.

E = {FS, FFFS, FFFFFS…) 0 el evento en el que se examinan un número par de baterías.” (pág. 55)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA UNIÓN

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}; entonces

                   AUB = {a, b, c, d, e}.” (pág. 16)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“Sean los conjuntos:

A = {1,2, 3, 6, 7, 8}

B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}

Aplicando la definición de unión de conjuntos se tiene que:

AuB= {l, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12}.” (pág. 81)

Jay L Devore, 2005. Señala que:

“para el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1, 3, 5}. Entonces

AUB= {0, 1,2, 3, 4, 5, 6}=S. A U C= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA INTERSECCIÓN

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“sea P el evento de que una persona seleccionada al azar mientras cena en un restaurante de moda sea un contribuyente, y sea Q el evento de que la persona tengas más de 65 años de edad. Entonces el evento P∩Q es el conjunto de todos los contribuyentes en el restaurante que tiene más de 65 años  de edad.” (pág. 15)

De acuerdo a (José Alfredo, 2008)

“Sean los conjuntos:

A = {1,2, 3, 6, 7, 8}

B = {x | x e Z+; x < 12; x es par}

Aplicando la definición de intersección de conjuntos se tiene que:

A n B = {2, 6, 8}.” (pág. 82)

Jay L Devore, 2005. Señala que:

““para el experimento donde se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera con seis bombas, sea A = {0, 1, 2, 3, 4}. B = {3, 4, 5, 6} y C= {1, 3, 5}. Entonces

A∩B = {3, 4}, A∩C= {1, 3}, A´= {5, 6}, {

(AUC)= {6}.” (pág. 55)

  

2.3 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.

AXIOMAS

Según (Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010)

“Los axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas. Los axiomas no determinan las probabilidades. Sin embargo, los axiomas facilitan el cálculo de las probabilidades de algunos eventos a partir del conocimiento de las probabilidades de otro.”(pág. 66)

Seymour Lipschutz (1991) señala que:

“Sea S un espacio muestral, sea Є la clave de eventos y se P una función de valores reales definida en Є. Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es llamada la probabilidad del evento A si se cumplen los siguientes axiomas:

[P1] Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

[P2] P(S) = 1.

[P3] Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A U B) = P(A) + P(B)

[P4] Si A1, A2, … es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + … “ (Pág. 40)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“Suponga que tiene un espacio muestral S. Si S es discreto, todos los subconjuntos corresponden a eventos y recíprocamente, pero si S no es discreto, solo los subconjuntos especiales (llamados mediles) corresponden a eventos. A cada evento A de una clase C de eventos se le asocia un número real P(A). Entonces P se llama función de probabilidad, y P(A) es la probabilidad del evento A. si se satisfacen los axiomas siguientes:

Axioma 1: Para cada evento A de la clase C.

P(A) ≥ 0

Axioma 2: Para el evento cierto o seguro S de la clase C.

P(S) = 1

Axioma 3: Para cualquier número de eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…., de la clase C,

P(A1 U A2 U …) = P(A1) + P(A2) + …

 En particular, dados dos eventos mutuamente excluyentes A1, A2,

P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)” (Pág. 5)

 TEOREMAS

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“De acuerdo con los axiomas anteriores, pueden demostrarse varios teoremas acerca de la probabilidad que son importantes en el trabajo subsiguiente.

Teorema 1-1: Si A1 C A2, entonces P(A1) ≤ P(A2) y (A2 – A1) = P(A2) – P(A1).

Teorema 1-2: Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1, es decir una probabilidad está entre 0 y 1.

Teorema 1-3: P(ф) = 0 es decir el evento imposible tiene probabilidad cero.

Teorema 1-4: Si A’ es el complemento de A, entonces P(A´) = 1 – P(A)

Teorema 1-5: Si A = A1 U A2 U … U An donde A1, A2, … An son eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An), en particular, si A = S, es el espacio muestral, entonces P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1.” (pág. 5 y 6)

 2.4 probabilidad condicional

Según (Mario F.Triolo, 2009)

“La probabilidad condicional de un suceso es una probabilidad obtenida con

La información adicional de algún otro evento que ya ocurrió. P (B|A) denota la

Probabilidad condicional de que el suceso B ocurra, dado que el suceso A ya

Ocurrió, y puede calcularse dividiendo la probabilidad de que ambos sucesos

A y B ocurran entre la probabilidad del suceso A:

PsB k Ad 5

PsA y Bd

  PsAd.” (pág. 169) 

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010)

“P(B|A) = P(A∩B)/P(A)   o bien P(A∩B) = P(A) P(B|A) indica que la probabilidad de que ocurran tanto en A como B es igual a la posibilidad de que ocurra A, por la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A. A P(B|A) se la llama probabilidad condicional de B dado A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A.” (pág. 7)

Seymour Lipschutz (1992) señala que:

“sea E un evento arbitrario en un espacio muestral S para el cual P(E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que haya ocurrido E o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrito P(A|E), se define como sigue:

P(A|E) = P(A ∩ E) / P(E)” (pág. 279)

 2.5 ley multiplicativa

Según (Jay L. Devore, 2005)

“la definición de la probabilidad condicional da el siguiente resultado, obtenido multiplicando ambos miembros de la ecuación.”(Pág.69)

p (A∩B) = P (A|B)*P (B)

De acuerdo a (walpole, Ronald E., 1999)

“permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces

  P(A ∩ B) = P(A) P (B|A), siempre que P(A) > 0.” (pág. 54)

Mario F. Triolo, 2009. Declara que:

“se utiliza Para calcular P(A y B), la probabilidad de que el suceso A ocurra en un primer ensayo Y que el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Si el resultado del primer suceso A afecta de alguna forma la probabilidad del segundo suceso B, es importante Ajustar la probabilidad de B para que refleje la ocurrencia del suceso A. La regla Para el cálculo de P(A y B) se denomina regla de la multiplicación porque implica Multiplicar la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B (donde la Probabilidad del suceso B se ajusta por el resultado del suceso A).

P(A y B) _ P (el suceso A ocurre en un primer ensayo y el suceso B ocurre en un

  Segundo ensayo).” (pág. 159)

2.6 eventos independientes: regla de bayes

Según (Jay L. Devore, 2005)

“el cálculo de una probabilidad posterior P  (Aj|B) a partir de probabilidades previas dadas  P (Aj) y probabilidades condicionales  ocupa una posición central en la probabilidad elemental. La regla general de dichos cálculos, los que en realidad son una aplicación simple de la regla de la  multiplicación, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivió en el siglo XVII.” (Pág.72)

De acuerdo (Seymour Lipschutz, 1968)

“supongamos que los eventos A1, A2,…, An forman una partición de un espacio muestral ; esto es, que los eventos  son mutuamente exclusivos y su unión es . Ahora sea.  Otro evento.”(Pág.56)

Levin Richard I., 2010, señala que:

“El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace innecesario reunir grandes cantidades de datos en un periodo grande con el fin de tomar mejores decisiones, basadas en probabilidades.” (pág. 158)

Ejemplo:

Tres máquinas A, B y C producen respetivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si selecciona al azar un artículo. Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

2.7 variable aleatoria

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento  del espacio muestral.” (pág. 51)

De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)
“una variable aleatoria es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. en el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral  y cuyo recorrido es el conjunto de numero reales.” (pág. 98)

Murray R. Spiegel, 1991, señala que:

“supóngase que a cada punto de un espacio muestral asignamos un número. Así definimos una función en el espacio muestral. Comúnmente se denota por una letra mayúscula como X ó Y. En general una variable aleatoria tiene algún significado físico, geométrico u otro.” (pág. 38)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA

Según (walpole, Ronald E., 1999)

“se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas, son

De acuerdo a (Jay L Devore, 2005)

“cuando un estudiante intenta conectarse a un sistema de computadoras de tiempo compartido, uno de dos puertos está ocupado (F), en cuyo caso el estudiante no logra tener acceso, o bien hay por lo menos un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante logra conectarse al sistema con S= {S, F}, defina una variable aleatoria x mediante

X(S)=1    X (F)=0

La variable aleatoria X indica si (1) el estudiante se puede conectar o no ({}).” (pág. 98)

Murray R. Spiegel, 1991, señala que:

“supóngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espacio muestral es S= {CC, CS, SC, SS}. Representase por X el número de caras que puede resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un número para X.

Debe observarse que también podría definirse otras muchas variables aleatorias en este espacio muestral, por ejemplo el cuadro del número de caras, el número de caras menos en número de sellos.” (pág. 38)

2.8 Variables aleatorias conjuntas

Anderson Sweeney Williams (2008) señala que:

“A una variable que puede tomar cualquier valor numérico dentro de un intervalo o colección de intervalos, Los resultados experimentales basados en escalas de medición tales como tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias continuas. La variable aleatoria que interesa es x = tiempo en minutos entre dos llamadas consecutivas. Esta variable aleatoria puede tomar cualquier valor en el intervalo x  ≥ 0.” (Pág. 189)

Jay ley Devore (2009) menciona que:

“La probabilidad de que el valor observado de una variable aleatoria continua X esté en un conjunto unidimensional A (tal como un intervalo) se obtiene integrando la función de densidad de probabilidad f(x) a lo largo del conjunto A. Asimismo, la probabilidad de que el par

(X, Y) de variables aleatorias continuas quede en un conjunto A en dos dimensiones (tal como

un rectángulo) se obtiene integrando una función llamada función de densidad conjunta. (Pág. 186)

Seymour Lipschutz, (1991) señala que:

“supóngase que X es una variable aleatoria cuyo conjunto imagen X(S) es un conjunto continuo de números tales como intervalo. El conjunto |a ≤ X ≤ b | es un suceso de S y, por consiguiente, la probabilidad P(a ≤ X ≤ b) está bien definida.” (Pág. 84)

2.9 modelos analíticos de fenómenos aleatorios discreto

Según (Walpole, Myers, Myers, 2012)

“se puede contar su conjunto de resultados posibles. Sin embargo, una variable aleatoria cuyo conjunto de valores posibles es un intervalo completo de números no es discreta. Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continúa.” (pág. 83)

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991)

“Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, por que el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.” (pág. 87)

                          FUENTE BIBLIOGRÁFICA

(Walpone, Ronald., 1999). Probabilidad y estadística para ingenieros sexta edición. México: PRENTICE-HALL/HISPANOAMERICANA.

(Murray R. Spiegel, 1991) probabilidad y estadística. Primera edición, México: MC GRAW-HILL/INTEROAMERICANA.

(Levin, Richard I, 2010) estadística para administración y economía. Séptima edición, México: person educación.

(José Alfredo, 2008) Matemáticas para la computación. Primera edición. México: editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Sexta edición. México: Thomson editores.

(Mario F.Triolo, 2009) Estadística. Décima edición, México: Pearson Addison Wesley.

(Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, México: Editorial MC GRAW HILL.

(Walpole, Myers, Myers, 2012) probabilidad y estadística para ingeniería y ciencia. Novena edición, México: person educación.

(Seymour Lipschutz, 1992). Matemáticas para computación. Primera edición. México. Mc Graw Hill.

(Douglas C. Montgomery y George C. Runger, 2010). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, primera edición. México. Mc Graw Hill.

 (Murray R. Spiegel, John Schiller y R. Alu Srinivasan, 2010.) Probabilidad y estadística. Tercera edición. México. Mc Graw Hill.